• 日時： 2022/08/10 20:24
• 名前： てん　（ID: 3BuXSBTD）

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「三分の一の３倍は１」ってなんで？


三分の一はご存知でしょうか？

1割る3の事です。

それに3をかけたらどうなるでしょうか

もちろん、1ですよね。

÷3と×3は逆の関係にあるので、一回ずつ行えば元に戻るはずです。

じゃあ三分の一は具体的にどんな値なのでしょうか？

0.333…になるはずです。
　　　　.
これを0.3と表したりもします。

ではこれを3倍するとどうなるでしょうか？

0.999…になるはずです。
　　　　.
これを0.9と表したりもします。

この値は三分の一の3倍です。

つまり、「1」である必要があります。

「0.999…=1」？？？

どう見ても違いますよね。

どうしてこんなことが起こるんでしょうか？

今日はこの説明を2種類のアプローチでやっていきたいと思います。

1.極限からのアプローチ

数学には極限という概念があります。

例えばこういうものです。

　lim　2n
n→∞

これは極限までnを∞に近づけたときの2nの値を表します。

「極限まで∞に近づける」というのは「∞には決してならないギリギリの値にする」という事です。

この考え方は今回の三分の一の3倍問題にも使えます。

0.999…を三分の一の3倍に「極限まで近づけた値」と考えてみればどうでしょうか。

そう考えると三分の一の3倍そのものは、その「極限まで近づけた値」より僅かに大きい最小の値と考えられます。

それが1です。

0.999…と∞に9を書くことはできないから、∞に近い数の9を書いてそれよりちょこっと大きいのが「真の値」というように考えれば、すんなり納得できませんか？

2.三進数からのアプローチ

みなさんが使っている「数」は10進数というものです。

0123456789…10になったら二桁。

ここに大した意味はないです。

「人間の手の指が10本だから10で次の桁にいくの？そんなわけないか」

いや、そんなわけあります。指が10本だから10進数を使っています。我々は。

10になると一桁進むから10進数。

では、3になると一桁進むのは？

はいそうです。3進数です。

3で次の位に行きますから、「0、1、2」の3つしか数字を使わないです。

0
1
2
10
11
12
20
21
22
100

という感じで数えていきます。

二桁目の「1」は3と同じ意味になっているのにお気づきでしょうか？

それはそうです。3で繰り上がる。つまり、いつもの10進数でいう、「十の位」が「三の位」というわけです。

同じように、三桁目の繰り上がりは「9」で起こります。

「九の位」というわけです。

同じように四桁目は「27」、五桁目は「81」で繰り上がります。

一桁目　1
二桁目　3
三桁目　9
四桁目　27
五桁目　81

さて、規則性見つかりませんか？

一桁上がるごとに繰り上がりの数が3倍になってます。

逆に、一桁下がると三分の一倍になっています

じゃあ小数第一位はどうでしょうか？

「三分の一」の位になりませんか？

答えから言うと、なります。

つまり、3進数で「0.1」というのは、三分の一を表します。

0.1×3は？「0.3。」

でも3で繰り上がるから？「1」

テッテレー。三分の一の3倍がピッタリ1になりました拍手。

つまりは、1÷3が10進数として割り切れないからいけないのであって、割り切れる「ツール」を使えば「二分の一×2=0.5×2=1」と変わらないのです。

三分の一の3倍は1？

答えは「はい」

本講のまとめ

・三分の一の3倍は1
・0.999…と1は近似的に同じ(というか同じ)
・三分の一が特別なのではなく、10進法だからややこしくなっているだけ